Question

（12分）如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．

（1）當BC=1時，求線段OD的長；

（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；

（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

【解析】
（1）如圖（1），

∵OD⊥BC，

∴BD=BC=，

∴OD==；

（2）如圖（2），

存在，DE是不變的．

連接AB，則AB==，

∵D和E分別是線段BC和AC的中點，

∴DE=AB=；

（3）如圖（3），

連接OC，

∵BD=x，

∴OD=，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=45°，

過D作DF⊥OE．

∴DF=，由（2）已知DE=，

∴在Rt△DEF中，EF==，

∴OE=OF+EF=

∴y=DF•OE=

【解析】試題分析：（1）根據OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；

（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據D和E是中點可得出DE=；

（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=即可得出結論

考點：垂徑定理；勾股定理；三角形中位線定理