Question

【題目】在中，，．點是平面內不與點，重合的任意一點．連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，，．

（1）觀察猜想

如圖1，當時，的值是______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是____________．（提示：求角度時可考慮延長交的延長線于）

（2）類比探究

如圖2，當時，請寫出的值及直線與直線相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題

當時，若點，分別是，的中點，點在直線上，請直接寫出點，，在同一直線上時的值_______________．

Answer 1

【答案】（1），；（2），理由見解析；（3），

【解析】

（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題．

（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．利用直角三角形斜邊上的中線的性質及等邊對等角證得BH=BA，∠H=∠BAH，再根據(jù)四點共圓的知識求得∠DAC=∠DCA=22.5，證明AD＝DC即可解決問題．

②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，根據(jù)三角形中位線的性質結合三線合一的性質證明DA＝DC即可解決問題．

解：（1）如圖1中，延長交的延長線于，設交于點．

∵,

∴都是等邊三角形，

∴,

∵,，

∴，

在和中，，

，

，，

，

，

，線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是，

故答案為，.

圖1

（2）如圖2中，設交于點，交于點．

，

∵

，

∵，

，

，,

∴.

，

，

直線與直線相交所成的小角的度數(shù)為．

圖2

（3），

如圖3﹣1中，當點在線段上時，延長交的延長線于．

圖3-1

∵點，分別是，的中點，點在直線上，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，，四點共圓，

，，

，

，設，則，，

．

如圖3﹣2中，當點在線段上時，設AB交CD于G，

∵點，分別是，的中點，點在直線上，

∴點為CG中點，

∵AP⊥CG，

∴AC=AG, ∠ACD=∠AGC，

∵，

∴，設，則，，

，

．

的值是，.

圖3-2