Question

已知直線(xiàn)y=x與函數(shù)y=

k

x

（x＞0，k＞0）的圖象交于點(diǎn)A，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C，直線(xiàn)AB交x軸負(fù)半軸于B點(diǎn)，∠ABC=30°．
（1）畫(huà)出滿(mǎn)足題意的示意圖；
（2）請(qǐng)用含π的代數(shù)式表示

S

T

的值；（其中，S為△AOB面積，T為扇形AOC面積）
（3）設(shè)k取k₁時(shí)，△AOB面積為S₁，扇形AOC面積為T(mén)₁，k取k₂時(shí)，△AOB面積為S₂，扇形AOC面積為T(mén)₂…求

S1

T1

-

S2

T2

+

S3

T3

-

S4

T4

+…-

S2008

T2008

+

S2009

T2009

的值．

Answer 1

分析：（1）首先確定點(diǎn)C的位置，再進(jìn)一步畫(huà)出30度的角確定點(diǎn)B的位置；
（2）首先根據(jù)直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的解析式可以求得交點(diǎn)A的坐標(biāo)，作AD⊥x軸于D，則得到等腰直角三角形AOD．根據(jù)勾股定理求得OA的長(zhǎng)，即可表示出扇形的面積；要求OB的長(zhǎng)，根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得BD的長(zhǎng)，從而求得OB的長(zhǎng)，即可表示出三角形的面積．最后求得比值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，不難看到它們之間的面積比是一個(gè)定值，利用抵消的方法即可求解．

解答：解：（1）畫(huà)圖正確（3分）


（2）由題意可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（

k

，

k

）過(guò)A作AD⊥x軸于D，（1分）
BO=

3k

-

k

，AD=

k

，OA=

2k

（1分）
∴△AOB的面積S=

( 3 -1)

3

k（1分）
扇形AOC面積T=

π

4

k（1分）

S

T

=

( 3 -1) 3 k

π 4 k

=

2( 3 -1)

π

因此無(wú)論k值如何變化，

S

T

的值都不變，

S

T

=

( 3 -1) 3 k

π 4 k

=

2( 3 -1)

π

；（3分）

（3）

S1

T1

-

S2

T2

+

S3

T3

-

S4

T4

+-

S2008

T2008

+

S2009

T2009

=

S2009

T2009

=

2( 3 -1)

π

．

點(diǎn)評(píng)：注意：直線(xiàn)y=x即是第一、三象限的角平分線(xiàn)，可以出現(xiàn)等腰直角三角形．掌握等腰直角三角形和30度的直角三角形的性質(zhì)，熟悉三角形和扇形的面積公式．