Question

8．如圖所示，一艘輪船以20海里/時(shí)的速度由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)正以40海里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)20$\sqrt{2}$海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)．當(dāng)輪船到A處時(shí)，測得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方向B處，且AB=100海里．
（1）若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請說明理由．
（2）現(xiàn)輪船自A處立即提高船速，向位于東偏北30°，相距60海里的D港駛?cè)�，為使在臺(tái)風(fēng)到來之前輪船到達(dá)D港，問船速至少應(yīng)提高多少？（提高的船速取整數(shù)，$\sqrt{13}$≈3.6）

Answer 1

分析 （1）設(shè)t時(shí)刻，輪船行駛到C點(diǎn)，臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，列出輪船到臺(tái)風(fēng)中心的計(jì)算公式，求出即可，
（2）由于20$\sqrt{2}$＞60，則當(dāng)B未到達(dá)A點(diǎn)時(shí)D已經(jīng)受到影響，作出圖形，根據(jù)勾股定理可以得出此時(shí)AB的距離，進(jìn)而得出所用的時(shí)間，由AD的距離，則可以得出速度

解答 解：（1）若這艘輪船自A處按原速繼續(xù)航行，在途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)．
設(shè)t時(shí)刻，輪船行駛到C點(diǎn)，臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，如圖所示：
則可知AC=20t，AB=100-40t，
根據(jù)勾股定理得：BC=20$\sqrt{5{t}^{2}-20t+25}$，
當(dāng)BC=20$\sqrt{2}$時(shí)，
整理得出：t²-4t+3=0
解得：t₁=1，t₂=3，
∵求最初遇臺(tái)風(fēng)時(shí)間，∴t=1，
即點(diǎn)C在臺(tái)風(fēng)影響的范圍內(nèi)，會(huì)受到影響，輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間是行駛1小時(shí)．

（2）如圖過點(diǎn)D作垂線，D位于東偏北30°，且AD=60，
則可以得出AF=BE=30$\sqrt{3}$，DF=30，
有BD=20$\sqrt{10}$，根據(jù)勾股定理得：DE²=BD²-BE²，
代入數(shù)據(jù)得：DE=10$\sqrt{13}$，∴AB=EF=DE-DF=10$\sqrt{13}$-30，
∴B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為100-（10$\sqrt{13}$-30），
∴用時(shí)間為$\frac{130-10\sqrt{13}}{40}$≈2.35，
∴輪船的速度為：$\frac{60}{2.35}$≈25.53，
∴船速至少應(yīng)提高25.53-20≈6海里/時(shí)．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用和勾股定理的運(yùn)用，對于這類問題要找到臨界的點(diǎn)，運(yùn)用所學(xué)的基本知識求解．這就要求對一些小的知識點(diǎn)有很好的掌握．