Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A時(shí)拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$與x軸正半軸交點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線上，其橫坐標(biāo)為1，直線AB與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)M、P在線段AC上，點(diǎn)Q在拋物線上，且MQ平行于x軸，PQ平行于y軸．設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m．
（1）求直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）用含m的代數(shù)式表示線段PQ的長；
（3）以PQ、QM為鄰邊作矩形PQMN，求矩形PQMN的周長為9時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A時(shí)拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$與x軸正半軸交點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線上，其橫坐標(biāo)為1，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（2）分別從當(dāng)0≤m≤1時(shí)與當(dāng)1＜m≤4時(shí)，去分析求解即可求得答案；
（3）首先可求得tan∠QMP=$\frac{PQ}{MQ}$=$\frac{1}{2}$，即可得矩形PQMN的周長=6PQ，又由矩形PQMN的周長為9，即可得到方程，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A時(shí)拋物線$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x$與x軸正半軸交點(diǎn)，
∴-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$x（x-4）=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
∵點(diǎn)B在拋物線上，其橫坐標(biāo)為1，
∴y=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)B（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）根據(jù)題意得：P（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m），Q（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴當(dāng)0≤m≤1時(shí)，PQ=（-$\frac{1}{2}$m+2）-（-$\frac{1}{2}$m²+2m）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2；
當(dāng)1＜m≤4時(shí)，PQ=（-$\frac{1}{2}$m²+2m）-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2；

（3）∵M(jìn)Q平行于x軸，PQ平行于y軸，
∴∠QMP=∠OAC，
∵點(diǎn)C（0，2），A（4，0），
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠QMP=$\frac{PQ}{MQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴MQ=2PQ，
∵矩形PQMN的周長為9，
∴當(dāng)0＜m≤1時(shí)，2（MQ+PQ）=6PQ=6（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+2）=9，
解得：m₁=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$（舍去），
∴m₂=$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$；
∴2（MQ+PQ）=6PQ=6（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m-2）=9，
此時(shí)無解；
綜上，矩形PQMN的周長為9時(shí)，m=$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及三角形函數(shù)的性質(zhì)的知識(shí)．注意根據(jù)坐標(biāo)表示出PQ是關(guān)鍵．