Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，點D為BC邊上的一點，點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD、DE，在AD上取點F，使得∠EFD=60°，射線EF與AC交于點G．

（1）設∠BAD=α，求∠AGE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；

（2）用等式表示線段CG與BD之間的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）60°+α；（2）CG=2BD，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得結論；
（2）作輔助線，構建全等三角形，證明四邊形EBPG是平行四邊形，得BE=PG，再證明△ABD≌△BCP（AAS），可得結論．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵∠BAD=α，

∴∠FAG=60°-α，

∵∠AFG=∠EFD=60°，

∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α；

（2）CG=2BD，理由是：

如圖，連接BE，過B作BP∥EG，交AC于P，則∠BPC=∠EGP，

∵點D關于直線AB的對稱點為點E，

∴∠ABE=∠ABD=60°，

∵∠C=60°，

∴∠EBD+∠C=180°，

∴EB∥GP，

∴四邊形EBPG是平行四邊形，

∴BE=PG，

∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°，

∴∠FGC+∠FDC=180°，

∴∠ADB=∠BGP=∠BPC，

∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，

∴△ABD≌△BCP（AAS），

∴BD=PC=BE=PG，

∴CG=2BD．