Question

 

在平面直角坐標系xOy中,反比例函數的圖象與拋物線 交于點A(3,n).

（1）求n的值及拋物線的解析式；

（2） 過點A作直線BC，交x軸于點B，交反比例函數（）的圖象于點C，且AC=2AB，求B、C兩點的坐標；   

（3）在（2）的條件下，若點P是拋物線對稱軸上的一點，且點P到x軸和直線BC的距離相等，求點P的坐標.

 

Answer 1

 

（1）

（2）B(4，0)

（3）點P的坐標為或

解析:解：（1）∵點A(3, n)在反比例函數的圖象上，

.……………………………………………………………………1分

∴A(，).

∵點A(，)在拋物線上，

∴ . 

∴拋物線的解析式為．     …………………………2分

（2）分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，

∴AD∥CE.

∴△ABD∽△CBE.

∴ ．

∵AC＝2AB，∴.

由題意，得AD＝,

∴.

∴CE＝4．……………………3分

即點C的縱坐標為4.

當y＝4時，x＝1，

∴C(1，4) ………………… 4分

∵ DE＝2,

∴

∴BD＝1．

∴B(4，0).   ……………………………………………………………5分

（3）∵拋物線的對稱軸是，

∴P在直線CE 上.

過點P作PF⊥BC于F.

由題意，得PF＝PE.

∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°,

 ∴△PCF ∽△BCE.

∴ ．

由題意，得BE=3，BC=5.

①當點P在第一象限內時，設P(1，a) (a＞0).

則有  解得

∴點P的坐標為. ……………………………………………6分

②當點P在第四象限內時，設P(1， a) (a＜0)

則有  解得

∴點P的坐標為.……………………………………………7分

∴點P的坐標為或.