Question

11．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短得出此時BM+MN最小，求出E和B關(guān)于AD對稱，求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．

解答 解：在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最�。ǜ鶕�(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），
∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分線（三線合一），
∴E和B關(guān)于直線AD對稱，
∴EM=BM，
即BM+MN′=EM+MN′=EN′，
∵EN′⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN′=30°，
∵AE=AB=6，
∴AN=$\frac{1}{2}$AE=3，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=$\sqrt{A{E}^{2}-AN{′}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，即BM+MN的最小值是3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到垂線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．