Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O為原點，E為AB上一點，把△CBE沿CE折疊，使點B恰好落在OA邊上的點D處，A、D的坐標(biāo)分別為（5，0）和（3，0）．
（1）已知拋物線y=2x²+bx+c經(jīng)過B、D兩點，求此拋物線的解析式；
（2）點P為線段CE上的動點，連接AP，當(dāng)△PAE的面積為$\frac{27}{20}$時，求tan∠APE的值；
（3）將拋物線y=2x²+bx+c平移，使其經(jīng)過點C，設(shè)拋物線與直線BC的另一個交點為M，問在該拋物線上是否存在點Q，使得△CMQ為等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；并直接寫出滿足（2）的P點是否在此時的拋物線上．

Answer 1

分析 （1）先在RT△CDO中求出CO，設(shè)BE=DE=x，在RT△ADE中利用勾股定理求出x，即可得到B、D兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．
（2）如圖1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．，先求出PM，再利用$\frac{PM}{BC}$=$\frac{EM}{EB}$，求出EM，PE，由△PME∽△ANE得$\frac{AE}{PE}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{AN}{PM}$，求出EN、AN即可解決問題．
（3）如圖2中，設(shè)平移后的拋物線為y=2x²+bx+4，因為△CMQ是等邊三角形，所以點Q只能是頂點，頂點Q（-$\frac{4}$，$\frac{32-^{2}}{8}$），根據(jù)HQ=$\sqrt{3}$CH，列出方程即可解決問題．

解答 解（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AO=5，CO=AB，∠CBA=∠BAO=∠BCO=90°，
∵△CED是由△CEB翻折，
∴CD=AB=5，DE=BE，
在RT△CDO中，∵OD=3，CD=5，
∴CO=$\sqrt{C{D}^{2}-O{D}^{2}}$=4，設(shè)BE=ED=x，
在RT△AED中，∵DE²=AE²+AD²，
∴x²=（4-x）²+2²，
∵x=$\frac{5}{2}$，
∴點B（5，4），把D（3，0），B（5，4）代入y=2x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{18+3b+c=0}\\{50+5b+c=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-14}\\{c=24}\end{array}\right.$
∴拋物線解析式為y=2x²-14x+24．
（2）如圖1中，作PM⊥AB于M，AN⊥CE于N．
由（1）可知AE=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{5}{2}$
∴$\frac{1}{2}$×AE×PM=$\frac{27}{20}$，
∴PM=$\frac{9}{5}$，
∵PM∥BC，
∴$\frac{PM}{BC}$=$\frac{EM}{EB}$，
∴$\frac{\frac{9}{5}}{5}=\frac{EM}{\frac{5}{2}}$，
∴EM=$\frac{9}{10}$，
∴PE=$\sqrt{P{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\frac{9}{10}\sqrt{5}$，
∵∠PME=∠ANE，∠PEM=∠AEN，
∴△PME∽△ANE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{EN}{EM}$=$\frac{AN}{PM}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{10}\sqrt{5}}$=$\frac{EN}{\frac{9}{10}}$=$\frac{AN}{\frac{9}{5}}$，
∴EN=$\frac{3}{10}$$\sqrt{5}$，AN=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，PN=PE+EN=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴tan∠APE=$\frac{AN}{PN}$=$\frac{1}{2}$．
（3）如圖2中，設(shè)平移后的拋物線為y=2x²+bx+4，
∵△CMQ是等邊三角形，
∴點Q只能是頂點，頂點Q（-$\frac{4}$，$\frac{32-^{2}}{8}$），
∴HQ=$\sqrt{3}$CH，
∴$\sqrt{3}$•|（-$\frac{4}$）|=4-$\frac{32-^{2}}{8}$，
∴b=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴滿足條件的點Q為：Q₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂ （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$），
此時拋物線為y=2x²$±\frac{\sqrt{3}}{2}$x+4，
∵點P坐標(biāo)（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
顯然點P不在其拋物線上．

點評 本題考查二次函數(shù)性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形或相似三角形，第三個問題記住拋物線平移a相同，學(xué)會用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．