Question

4．如圖，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，且點D在AB邊上，連接AE，
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：DE²=AD²+BD²．

Answer 1

分析 （1）由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，結合等式性質易證∠1=∠2，那么利用SAS可證△ACD和△BCE．
（2）易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可得AE²+AD²=DE²．

解答 證明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD，
∴∠EAD=∠DAC+∠CAE=45°+45°=90°，
∴AE²+AD²=BD²+AD²=DE²．
∴DE²=AD²+BD²

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．