Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)；（3）存在，，．

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出，從而推出，即可推出當(dāng)時(shí)，的面積最大，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為c，表示出BE、QE，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，分OA和BE，OA和QE是對(duì)應(yīng)邊兩種情況列出比例式求解即可．

（1）由拋物線過(guò)點(diǎn)，，

則，解得．

二次函數(shù)的解析式為．

（2）存在．如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

，，．

當(dāng)時(shí)，，

．

．

，

當(dāng)時(shí)，有最大值．

此時(shí)．

存在點(diǎn)，使的面積最大．

（3）存在點(diǎn)，坐標(biāo)為，．

理由如下：設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為c，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為BE=1-c，

①OA和BE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△BEQ∽△AOC，

∴，

即，

整理得，c2+c-2=0，

解得c1=-2，c2=1（舍去），

此時(shí)，,

點(diǎn)Q（-2，2）；

②OA和QE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△QEB∽△AOC，

∴，

即，

整理得，4c2-c-3=0，

解得，c2=1（舍去），

此時(shí)，,

點(diǎn)；

綜上所述，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．