Question

【題目】如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C、D分別在邊OA、OB上的點．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；

（2）將△COD繞點O旋轉到圖2所示位置時，⑴中結論是否仍成立？若成立，證明你的結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析

【解析】

（1）只要證明△AOD≌△BOC（SAS），即可解決問題；

（2）如圖2中，結論：OH=AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，證明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，證明△BEO≌△ODA（SAS）即可解決問題；

（1）∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．

∴OC＝OD，OA＝OB

在△AOD與△BOC中

∴△AOD≌△BOC（SAS）

∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD

∵點H是BC的中點，∠AOB＝90°

∴OH＝HB＝

∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝

∵∠OAD＋∠ADO＝90°

∴∠ADO＋∠BOH＝90°

∴OH⊥AD

（2）（1）中結論成立；如圖，延長OH到E，使得HE＝OH，連接BE，CE

∵CH＝BH

∴四邊形BOCE是平行四邊形

∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE

∴∠EBO＋∠COB＝180°

∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°

∴∠1＝∠COB

∵∠AOD＋∠1＝180°

∴∠AOD＝∠EBO

∴△BEO≌△ODA

∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD

∴OH＝AD

∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°

∴OH⊥AD

【點晴】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉變換，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系等知識，構造全等三角形解決問題是解題的關鍵.