Question

圖1所示的遮陽(yáng)傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2．當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P由A向B移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開．已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．
（1）求AP長(zhǎng)的取值范圍；
（2）當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，求AP的值；
（3）在陽(yáng)光垂直照射下，傘張得最開時(shí)，求傘下的陰影（假定為圓面）面積S（結(jié)果保留π）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意，得AC=CN+PN，進(jìn)一步求得AB的長(zhǎng)，即可求得AP的取值范圍；
（2）根據(jù)等邊△PCN的判定和性質(zhì)即可求解；
（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據(jù)菱形CMPN的性質(zhì)求得MB的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求得圓的半徑，再利用二次函數(shù)增減性求出即可．

解答：解：（1）∵BC=2.0分米，AC=CN+PN=12分米，
∴AB=12-2=10（分米），
∴AP的取值范圍為：0分米≤AP≤10分米．

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，
∴△PCN等邊三角形．
∴CP=6分米．
∴AP=AC-PC=12-6=6（分米），
即當(dāng)∠CPN=60°時(shí)，AP=6分米；
（2）連接MN、EF，分別交AC于B、H．
設(shè)AP=x分米，
∵PM=PN=CM=CN，
∴四邊形PNCM是菱形．
∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，
PB=

PC

2

．
在Rt△MBP中，PM=6分米，
∴MB²=PM²-PB²=6²-（6-

1

2

x）²=6x-

1

4

x²．
∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，
∴EH=HF，EF⊥AC．
∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，
∴△CMB∽△CEH．
∴

MB

EH

=

CM

CE

．
∴

MB2

EH2

=（

6

18

）²=

1

9

，
∴EH²=9•MB²=9•（6x-

1

4

x²）．
∴S=π•EH²=9π（6x-

1

4

x²），
即S=-

9

4

πx²+54πx，
∵x=-

b

2a

=12，0≤x≤10，
∴x=10時(shí)，S_最大=-

9

4

π×100+54π×10=315π（平方分米）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)得出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．