Question

15．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，直線是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，交直線與點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，由待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出MA、MC和AC的長，分MA=MC、MA=AC和MC=AC三種情況分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），兩點(diǎn)
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
又∵拋物線過點(diǎn)C（0，3），
∴3=-3a，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；
（2）如圖1，連接BC，交直線與點(diǎn)P，

∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴PA=PB，此時B、C、P三點(diǎn)一線，
∴PA+PC最小，
即點(diǎn)P為使△PAC的周長最小的點(diǎn)，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
  將B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∵對稱軸為直線x=1，
∴當(dāng)x=1時，y=2，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；
（3）∵點(diǎn)M在直線x=1上，
∴設(shè)M（1，m），且A（-1，0），C（0，3），
∴MA²=m²+4，MC²=m²-6m+10，AC²=10，
∵△MAC為等腰三角形，
∴有MA=MC、MA=AC和MC=AC三種情況，
①若MA=MC，則MA²=MC²，即m²+4=m²-6m+10，解得m=1，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；
②若MA=AC，則MA²=AC²，即m²+4=10，解得m=±$\sqrt{6}$，此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，$\sqrt{6}$）；
③若MC=AC，則MC²=AC²，即m²-6m+10=10，解得m=0或m=6，當(dāng)m=6時，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成在角形（舍去），此時M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
綜上可知存在符合條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（1，1）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，0）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意拋物線解析式的三種形式的靈活運(yùn)用，在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出MA、MC和AC的長是解題的關(guān)鍵，注意分三種情況．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．