Question

19．如圖，在正方形ABCD中，AE=AD，∠DAE=60°，BE交AC于點F．
（1）求證：AF+BF=EF；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）在BE上取一點M，使得∠EAM=45°，只要證明△AEM≌△ABF，△AMF是等邊三角形即可．
（2））連接BD交AC于N，在RT△NBF中利用30度性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）在BE上取一點M，使得∠EAM=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AE=BC，∠CAD=∠CAB=45°，∠BAD=90°，
∵∠EAB=150°，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=15°，
在△AEM和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠ABF}\\{∠EAM=∠BAF}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ABF，
∴AM=AF，EM=FB，
∵∠MAF=∠EAB-∠EAM-∠BAF=60°，
∴△AMF是等邊三角形，
∴AF=MF，
∴EF=EM+MF=BF+AF．
（2）連接BD交AC于N．
∵AB=$\sqrt{6}$，四邊形ABCD是正方形，
∴BN=AN=$\sqrt{3}$，
在RT△NBF中，∵BN=$\sqrt{3}$，∠BFN=∠AFM=60°，
∴FN=1，BF=2，AF=AN-FN=$\sqrt{3}-1$，
∵EF=EM+MF=BF+AF=2+$\sqrt{3}-1$=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．