Question

1．?ABCD中，∠ABC=60°，∠ABC的角平分線與AD交于點(diǎn)E，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥DA且FG=DE，連接CG，CG與EF交于點(diǎn)H．
（1）若AB=2，BC=3，求BH的長(zhǎng)；
（2）求證：∠DAC+∠GCF=∠ACG．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)BA，F(xiàn)G交于M，連接MC，得到四邊形AMFD是平行四邊形，證得△CBF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=CF，于是得到平行四邊形BCFM是菱形連接CM，交BF于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{HF}{BH}=\frac{GF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，即可得到結(jié)論；
（2）通過(guò)△AMC≌△GFC，得到∠ACM=∠GCF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠DAC，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，延長(zhǎng)BA，F(xiàn)G交于M，連接MC，
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AMFD是平行四邊形，
∴DF=AM，
∵∠ABC=60°，BF平分∠ABC，
∴∠CBF=30°，∠BCD=120°，
∴∠CFB=30°，
∴△CBF是等腰三角形，
∴BC=CF=3，
∴DF=AM=1，
∴DE=DF=GF=1，
∴平行四邊形BCFM是菱形，
連接CM，交BF于O，
∴CM⊥BF，BO=FO，
∴BO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴BF=3$\sqrt{3}$，
∵GF∥BC，
∴△GFH∽△BCH，
∴$\frac{HF}{BH}=\frac{GF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵∠ABC=60°，
∴△BCM，△CMF全等的等邊三角形，
∴CM=CF，∠CMA=∠CFG=60°，
∵DE=AM，F(xiàn)G=DE，DF=AM，
∴AM=GF，
在△AMC與△GFC中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}\\{∠CMA=∠CFG}\\{AM=GF}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△GFC，
∴∠ACM=∠GCF，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACB+∠ACM=∠ACM+∠GCM=∠DAC+∠MCG，
∴∠ACG=∠ACM+∠MCG=∠GCF+∠MCG，
∴∠DAC+∠GCF=∠ACG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形AMFD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．