Question

如圖所示，在矩形OCBD中，OD=1，OC=3，∠DOC的角平分線交DB于A，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿射線OC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥射線OA，垂足為Q，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）畫出S與t的函數(shù)圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）分類討論：作AE⊥OA交OC于E，如圖1，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OA=

2

OD=

2

，OQ=

2

2

OP=

2

2

t，則OE=

2

OA=2，當(dāng)點(diǎn)P在OE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0＜t≤2時(shí)，S=S_△POQ，根據(jù)三角形面積公式得到=

1

4

t²；作CF⊥OA于F，PQ交AB于M，如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即2＜t≤3，S=S_梯形AOPM，根據(jù)梯形的面積公式得到S=t-1；過B點(diǎn)作BH⊥OA于H，PQ交矩形的邊于N、K，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CW上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3＜t＜4，利用S=S_梯形ABCO-S_△BNK得到S=-

1

2

t²+4t-

11

2

；
（2）利用自變量的取值范圍分別畫出二個(gè)二次函數(shù)圖象和一個(gè)一次函數(shù)圖象．

解答：解：（1）作AE⊥OA交OC于E，如圖1，

∵OA平分∠DOC，
∴∠AOD=∠AOC=45°，
∵PQ⊥OA，EA⊥OA
∴△ADO、△OPQ和△OEA都是直角三角形，
∴OA=

2

OD=

2

，OQ=

2

2

OP=

2

2

t，
∴OE=

2

OA=2，
∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=S_△POQ=

1

2

•（

2

2

t）²=

1

4

t²；
作CF⊥OA于F，PQ交AB于M，如圖2，

∵OQ=

2

2

t，
∴AQ=OQ-OA=OQ=

2

2

t-

2

，
∴AM=

2

AQ=

2

（

2

2

t-

2

）=t-2，
∴當(dāng)2＜t≤3時(shí)，S=S_梯形AOPM=

1

2

×（t-2+t）×1=t-1；
過B點(diǎn)作BH⊥OA于H，PQ交矩形的邊于N、K，如圖3，

∵NC=PC=t-3，
∴BN=BC-NC=1-（t-3）=4-t，
∴當(dāng)3＜t＜4時(shí)，S=S_梯形ABCO-S_△BNK
=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）²
=-

1

2

t²+4t-

11

2

，
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=

1

4

t²①；當(dāng)2＜t≤3時(shí)，S=t-1②；當(dāng)3＜t＜4時(shí)，S=-

1

2

t²+4t-

11

2

③；
（2）如圖4：
：

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形、等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)計(jì)算三角形和梯形的面積；會(huì)畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象；能運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．