Question

【題目】已知，正方形ABCD的邊長為4，點E是對角線BD延長線上一點，AE=BD．將△ABE繞點A順時針旋轉α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，點B、E的對應點分別為B′、E′．

（1）如圖1，當α=30°時，求證：B′C=DE；

（2）連接B′E、DE′，當B′E=DE′時，請用圖2求α的值；

（3）如圖3，點P為AB的中點，點Q為線段B′E′上任意一點，試探究，在此旋轉過程中，線段PQ長度的取值范圍為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）≤PQ≤4+2

【解析】試題分析：(1)、連接AC，B′C，根據正方形的性質得出得出AC=AE=2OA，根據Rt△AOE的性質得出∠E=30°，然后結合旋轉圖形的性質得出△ADE和△AB′C全等，從而得出答案；(2)、根據旋轉圖形的性質得出△AEB′和△AE′D全等，從而得出∠DAE′=∠EAB′，然后結合旋轉圖形的性質得出∠EAE′=∠BAB′，從而得到∠BAB′=∠DAB′，最后根據∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案；(3)、點P作PM⊥BE，∵AB=4，點P是AB中點，根據BP=2得出PM=；在旋轉過程中，△ABE在旋轉到點E在BA的延長線時，點Q和點E重合，然后求出PQ的長度，從而得出取值范圍.

試題解析：（1）如圖，連接AC，B′C， ∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°， ∵AE=BD， ∴AC=AE=2OA，

在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA， ∴∠E=30°，

∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°， 由旋轉有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°

∴∠DAE=15°，

在△ADE和△AB′C中， ， ∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，

（2）如圖，

由旋轉得，AB′=AB=AD，AE′=AE，

在△AEB′和△AE′D中， ，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，

∴∠EAE′=∠DAB′，由旋轉得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，

∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，

（3）如圖，由點到直線的距離，過點P作PM⊥BE，∵AB=4，點P是AB中點，

∴BP=2，∴PM= ，

在旋轉過程中，△ABE在旋轉到點E在BA的延長線時，點Q和點E重合，

∴AQ=AE=BQ=4 ∴PQ=AQ+AP=4+2，

故答案為≤PQ≤4+2．