Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）

（1）求點P₆的坐標；（2）求△P₅OP₆的面積；

（3）我們規(guī)定：把點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標x_n、縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標（|x_n|，| y_n|）稱之為點P_n的“絕對坐標”．根據(jù)圖中點P_n的分布規(guī)律，請你猜想點P_n的“絕對坐標”，并寫出來．

 

Answer 1

1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點P₆落在y軸的負半軸，而點P_n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的倍，故其坐標為P₆（0，2⁶），即P₆（0，64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽…∽△P_n－1OP_n．

設P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=，∴S_△P0OP1=×1×=，又

（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)次之后回到x軸正半軸，在這次中，點P_n分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點P_n的坐標可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，

①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；

②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為（×2ⁿ，×2ⁿ），即（2^n—1，2^n—1）；

③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在y軸上，

此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）．