Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3的頂點(diǎn)為M（2，-1），交x軸與A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對(duì)稱，求直線CD的解析式．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入其中進(jìn)行求解即可．
（2）由C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x軸交CD于E，結(jié)合“直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對(duì)稱”可得出A、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)以及AB的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，在明確C、E兩點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數(shù)法求得．

解答：解：（1）將M（2，-1）、B（3，0）代入拋物線的解析式中，得：

4a+2b+3=-1 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

．
故拋物線的解析式：y=x²-4x+3；

（2）由拋物線的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；
則△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．
過B作BE⊥x軸，交直線CD于E（如右圖），則∠EBC=∠ABC=45°；
由于直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對(duì)稱，所以點(diǎn)A、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，則BE=AB=2；
則E（3，2）．
由于直線CD經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），可設(shè)該直線的解析式為 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：
3k+3=2，解得：k=-

1

3

故直線CD的解析式：y=-

1

3

x+3．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題主要涉及到：函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等知識(shí)，著重了基礎(chǔ)內(nèi)容的考查．