Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．

（1）求線段AD的長度；

（2）點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與⊙O相切？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=；（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切；理由見解析.

【解析】

（1）由勾股定理易求得AB的長；可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得關(guān)于AC、AD、AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長．（2）當(dāng)ED與 O相切時(shí)，由切線長定理知EC=ED，則∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE，即E是AC的中點(diǎn)．在證明時(shí)，可連接OD，證OD⊥DE即可．

（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；

連接CD，∵BC為直徑，

∴∠ADC=∠BDC=90°；

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

∴，∴；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切；

證明：連接OD，

∵DE是Rt△ADC的中線；

∴ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD；

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD；

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；

∴ED⊥OD，

∴ED與⊙O相切．