Question

已知正方形ABCD，點E、F分別是AD、AB邊上的點，且BE⊥CF；
（1）求證：CF=BE；
（2）如圖（b），MN和EF是夾在正方形兩組對邊間的線段，且MN⊥EF，那么MN與EF相等嗎？請簡要說明你的判斷思路，若需添加輔助線說明，請在（b）中畫出．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據正方形的性質，可得BA與BC的關系，根據同角的余角相等，可得∠BFC=∠AEB，根據全等三角形的判定與性質，可得答案；
（2）根據直角三角形的性質，可得∠1+∠4=90°，∠1與∠3的關系，根據AAS，可得三角形全等，根據全等三角形的性質，可得答案．

解答：（1）證明：如圖一：
，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=BA，∠CBA=∠A=90°．
∵BE⊥CF，
∴∠BGF=90°，
∠GBF+∠GFB=90°．
∵∠FBG+∠BEA=90°，
∴∠BFC=∠AEB．
在△BFC和△AEB中，

∠CFB=∠BEA ∠CBF=∠BAE CB=BA

，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴CF=BE；
（2）如圖二作MG⊥AB與G點，作EH⊥BC與H點，
∴∠NGM=∠NGA=90°，∠EHF=∠EHB=90°，
∴∠1+∠4=90°．
∴ADNG是矩形，AEHB是矩形，
∴AD=NG，AD∥NG，AB∥EH，AB=EH，
∴∠2=∠3．
∵MN⊥EF，
∴∠EIM=90°，
∴∠4+∠2=90°，
∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠3．
正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=∠B=90°．
∴EH=NG．
在△EHF和△NGM中，

∠1=∠3 ∠FHE=∠MGN HE=NG

，
∴△EHF≌△△NGM （AAS），
∴EF=MN．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了正方形的性質，補角的性質，全等三角形的判定與性質，作圖構造全等三角形是解題關鍵．