Question

已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過原點，直線AC解析式為y=kx+4，

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若=，求k；

（3）若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，求k．

 

 

Answer 1

（1）二次函數(shù)解析式:y=﹣x2+4x．

（2）k=﹣1．

（3）k=﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對稱軸為x==2，且函數(shù)過（0，0），則可得出b，c，從而得到函數(shù)解析式．

（2）=，而且這兩個三角形為同高不同底的三角形，易得=，考慮計算方便可作B，C對x軸的垂線，進而有B，C橫坐標(biāo)的比為=．由B，C為直線與二次函數(shù)的交點，則聯(lián)立可求得B，C坐標(biāo)．由上述倍數(shù)關(guān)系，則k易得．

（3）以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，易得∠BOC=90°，由（2）可發(fā)現(xiàn)B，C橫縱坐標(biāo)恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易證△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．由此構(gòu)造方程即可得k值．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的對稱軸為x=2，且經(jīng)過原點，

∴﹣=2，0=0+0+c，

∴b=4，c=0，

∴y=﹣x2+4x．

（2）如圖1，連接OB，OC，過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CF⊥y軸于F，

∵=，

∴=，

∴=，

∵EB//FC，

∴==．

∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，

∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，

∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，

∴x=，或x=，

∵xB＜xC，

∴EB=xB=，F(xiàn)C=xC=，

∴4•=，

解得 k=9（交點不在y軸右邊，不符題意，舍去）或k=﹣1．

∴k=﹣1．

（3）∵∠BOC=90°，

∴∠EOB+∠FOC=90°，

∵∠EOB+∠EBO=90°，

∴∠EBO=∠FOC，

∵∠BEO=∠OFC=90°，

∴△EBO∽△FOC，

∴，

∴EB•FC=EO•FO．

∵xB=，xC=，且B、C過y=kx+4，

∴yB=k•+4，yC=k•+4，

∴EO=yB=k•+4，OF=﹣yC=﹣k•﹣4，

∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），

整理得 16k=﹣20，

∴k=﹣．

考點：1、函數(shù)圖象交點的性質(zhì)；2、相似三角形性質(zhì)；3、一元二次方程；4、圓周角定理