Question

已知：如圖，在半徑為R的⊙O中，∠AOB=2α，OC⊥AB于C點．
（1）求弦AB的長及弦心距；
（2）求⊙O的內接正n邊形的邊長a_n及邊心距r_n．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：（1）證明∠AOC=α，AC=BC；根據(jù)邊角關系證明AC=Rsinα，OC=Rcosα，問題即可解決．
（2）求出α=

180°

n

，借助（1）中的結論，即可解決問題．

解答：解：（1）∵OA=OB，OC⊥AB，∠AOB=2α，
∴∠AOC=α，AC=BC；
∵sinα=

AC

OA

，cosα=

OC

OA

，
∴AC=Rsinα，OC=Rcosα，
∴弦AB的長=2Rsinα，弦心距=Rcosα．
（2）如圖，設AB、OC分別為⊙O的內接正n邊形的邊長a_n及邊心距r_n，
則∠AOB=

360°

．n

，即2α=

360°

n

，
∴α=

180°

n

，
∴an=2Rsin

180°

n

，rn=Rcos

180°

n

．

點評：該題主要考查了正多邊形和圓的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷；對求解運算能力、推理論證能力等均提出了一定的要求．