Question

7．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC邊上的中線，過點D作DE⊥AB于點E，且sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，DB=3$\sqrt{2}$．求：
（1）AB的長；  
（2）直接寫出∠CAB的正切值．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=45°，過點D作DE⊥AB于點E，可知△BED是等腰直角三角形，由此可求得BE的長度，再由sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，可求得AD與AE的長度，進而求出AB的長度．
（2）過點C作CF⊥AB于點F，由此可知△BCF的等腰直角三角形，所以可求出CF、BF的值．

解答 解：（1）∵∠ABC=45°，過點D作DE⊥AB于點E
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BE=ED=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DB=3，
∵sin∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{ED}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴AD=5，
∴由勾股定理可求得：AE=4，
∴AB=AE+BE=7，
（2）過點C作CF⊥AB于點F，
∵∠ABC=45°，
∴△BCF是等腰三角形，
∵BC=2BD=6$\sqrt{2}$，
∴CF=BF=6，
∴AF=AB-BF=1，
∴tan∠CAB=$\frac{CF}{AF}$=7，

點評 本題考查解直角三角形，涉及勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)．