Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，過點C、B分別作AD垂線，垂足分別為E、D．
（1）當AC=BC時，猜想ED、BD的數量關系，并證明你的猜想；
（2）當AC=k•BC時（如圖2），則ED、BD的數量關系是

BD=

k2+1

ED

（用含有k的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點C作CK⊥BD交BD延長線于點K，可以得出四邊形CEDK是矩形，由其性質可以得出△AEC≌△BKC，可以得出CE=ED．再根據條件可以得出△CAE∽△ABD，由相似三角形的性質可以得出

BD

DE

=

2

，進而可以得出結論．
（2）如圖2，過點C作CK⊥BD交BD延長線于點K，可以得出四邊形CEDK是矩形，根據矩形的性質及相應條件可以得出△AEC∽△BKC，可以得出

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，有CE=kED．再根據△CAE∽△ABD可以得出

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

就可以得出BD=

k2+1

．

解答：解：（1）如圖1，BD=

2

ED
證明：過點C作CK⊥BD交BD延長線于點K，
∴∠K=90°
∵CE⊥AD，BD⊥AD
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四邊形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK．
在△AEC和△BKC中

∠ACE=∠BCK AC=BC ∠CAE=∠CBK

，
∴△AEC≌△BKC，
∴CE=CK，
∴CE=ED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

=

2

，
∴

BD

DE

=

2

，
即BD=

2

ED．
（2）如圖2，BD=

k2+1

ED．
理由：過點C作CK⊥BD交BD延長線于點K，
∴∠K=90°．
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴∠CED=∠EDK=90°，
∴四邊形CEDK是矩形，
∴DE=CK，∠ECK=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCK．
∵∠AMC=∠BMD，
∴∠CAE=∠CBK，
∴△AEC∽△BKC，
∴

CE

CK

=

AC

BC

，
∴

CE

CK

=

k•BC

BC

=k，
∴CE=kCK，
∴CE=kED．
∵∠CAE=∠BAD，∠CEA=∠BDA，
∴△CAE∽△ABD，
∴

BD

CE

=

AB

AC

．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得
AB²=AC²+BC²，
=（k．BC）²+BC²，
=（k²+1）BC²．
∴AB=

k2+1

BC，
∴

BD

CE

=

k2+1 BC

k•BC

=

k2+1

k

，
∴

BD

k•ED

=

k2+1

k

，
∴BD=

k2+1

ED．
故答案為：BD=

k2+1

ED．

點評：本題考查了角平分線的性質的運用，矩形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，解答時正確作出輔助線，證明三角形相似和全等是關鍵．