Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是BC邊的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于F點，則有AE=EF．
（1）如圖2，若點E是線段BC上的一個動點（不與B、C重合），上述其它條件不變，上述結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）如圖3，若點E在CB的延長線上時，上述其它條件不變，上述結論還成了嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖2，AE=EF，理由為：
證明：在AB上截取AM=EC，連接ME，
∵AM=EC，AB=BC，
∴AB-AM=BC-EC，即BM=BE，
∴△MBE為等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∵CF為直角∠DCG的平分線，∠AME為∠BME的外角，∠ECF為∠FCG的外角，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；
（3）如圖3：AE=EF，理由為：
證明：延長AB到M，使AM=CE，連接ME，
∵AM=CE，AB=BC，
∴AM-AB=CE-BC，即BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF=45°，
又∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠MAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
，
∴△MAE≌△CEF（ASA），
∴AE=EF．
分析：（1）在AB上截取AM=EC，然后證明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角邊角”證明△AEM和△EFC全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）延長AB到M，使AM=CE，然后證明∠BME=45°，從而得到∠BME=∠ECF，再利用兩直線平行，內錯角相等證明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角邊角”證明△MAE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，閱讀材料，理清解題的關鍵是取AM=EC，然后構造出△AEM與△EFC全等是解題的關鍵．