Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-4，0）、B（-l，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是第三象限的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ACD的面積為量求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并確定m為何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？
（3）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得∠APC=90°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-4，0）、B（-l，0）代入y=ax²+bx+3，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式；
（2）先求得直線AC的解析式，過D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E，設(shè)D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），E（m，$\frac{3}{4}$m+3）（-4＜m＜-1），求得DE=-$\frac{3}{4}$m²-3m，根據(jù)三角形面積公式求得S=$\frac{1}{2}$DE×4=-$\frac{3}{2}$（m+2）²+6，得到S關(guān)于m的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式即可求得．
（3）以AC為直徑作圓交拋物線的對(duì)稱軸于P，求得AC的中點(diǎn)O坐標(biāo)，求得對(duì)稱軸方程，然后設(shè)P（-$\frac{5}{2}$，y），依據(jù)OP=$\frac{AC}{2}$=$\frac{5}{2}$，根據(jù)勾股定理得出（-2+$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-y）²=（$\frac{5}{2}$）²，解方程即可求得．

解答 解：（1）將A（-4，0）、B（-l，0）代入y=ax²+bx+3得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．
故拋物線的函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3；
（2）令x=0，則y=3，
∴C（0，3），
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
代入A（-4，0）、C（0，3）得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$
∴AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3；
過D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E，設(shè)D（m，$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），E（m，$\frac{3}{4}$m+3）（-4＜m＜-1），
則DE=$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+3），
∴DE=-$\frac{3}{4}$m²-3m，
∴S=$\frac{1}{2}$DE×4=2（-$\frac{3}{4}$m²-3m）=-$\frac{3}{2}$m²-6m=-$\frac{3}{2}$（m+2）²+6，
∴m=-2時(shí)，S_最大=6；
故m為-2時(shí)S有最大值，最大值是6．
（3）存在點(diǎn)P使得∠APC=90°，
以AC為直徑作圓交拋物線的對(duì)稱軸于P，
∵A（-4，0）、C（0，3），
∴AC的中點(diǎn)O的坐標(biāo)為（-2，$\frac{3}{2}$），AC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴OP=$\frac{AC}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-4，0）、B（-l，0）兩點(diǎn)，
∴對(duì)稱軸x=$\frac{-4-1}{2}$=-$\frac{5}{2}$，
設(shè)P（-$\frac{5}{2}$，y），
∴OP²=（$\frac{AC}{2}$）²，
（-2+$\frac{5}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$-y）²=（$\frac{5}{2}$）²，
解得y=$\frac{3}{2}$±$\sqrt{6}$，
∴P的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3+2\sqrt{6}}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3-2\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，直角三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．