Question

關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），頂點為C，設(shè)m是不小于-1的實數(shù)．
（1）求頂點C的坐標(biāo)，并說明C點在什么樣的線上運(yùn)動；
（2）若OA²+OB²=6，求m值；
（3）求代數(shù)式

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先把y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3配成頂點式得y=（x+m-2）²+m-1，即可得到頂點C的坐標(biāo)；設(shè)C（x，y），則x=-m+2，y=m-1，消去m得到y(tǒng)=-x+1；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，變形x₁²+x₂²=6使之用x₁+x₂，x₁•x₂表示，然后得到關(guān)于m的方程m²-5m+2=0，解得m=

5± 17

2

；而m是不小于-1的實數(shù)且m-1＜0，即-1≤m＜1，即可得到m的值；
（3）設(shè)t=

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

，當(dāng)m=0，t=0；當(dāng)m≠0，對t通分，并且用x₁+x₂，x₁•x₂表示，可得到t=2m²-6m+2，配成頂點式得y=2（m-

3

2

）²-

5

2

，而-1≤m＜1，根據(jù)二次函數(shù)的增減性質(zhì)得到當(dāng)m=-1時，t的值最大，此時t=10．

解答：解：（1）y=（x+m-2）²+m-1，
∴頂點C的坐標(biāo)為（-m+2，m-1），
設(shè)C（x，y），則x=-m+2①，y=m-1②，
①+②得，x+y=1，即y=-x+1，
∴C點的橫縱坐標(biāo)滿足y=-x+1，
∴C點在直線y=-x+1上運(yùn)動；

（2）∵二次函數(shù)y=x²+2（m-2）x+m²-3m+3與x軸有兩個交點，A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，
∵OA²+OB²=6，
∴x₁²+x₂²=6，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6，
∴m²-5m+2=0，解得m=

5± 17

2

，
又∵m是不小于-1的實數(shù)且m-1＜0，即-1≤m＜1，
∴m=

5- 17

2

；

（3）設(shè)t=

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

，
當(dāng)m=0，t=0，
當(dāng)m≠0，
t=m•

x 12(1-x2)+x22(1- x1)

(1-x1)(1-x2)

=m•

(x1+x2)2-2x1 x2-x1x2 (x1+x2 )

1-(x1+x2)+ (x1+x2)

=m•

2m3-8m2+8m-2

m2-m

=2m²-6m+2
=2（m-

3

2

）²-

5

2

，
∵-1≤m＜1，
∴當(dāng)m=-1時，t的值最大，此時t=10，
所以代數(shù)式

mx12

1-x1

+

mx22

1-x2

的最大值為10．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：二次函數(shù)的頂點式、二次函數(shù)的增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系．也考查了代數(shù)式的變形能力．