Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D在AB上，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，以BD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若AB=10，BC=6，求BF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理，垂直經(jīng)過半徑外端直線是圓的切線，連接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）由勾股定理求得AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得△AOE∽△ABC，從而求得AE：OE：OA=AC：BC：AB=4：3：5，設(shè)AE=4x，則OE=3x，OA=5x，由OE=OD=3x，求得AD=OA-OD=2x，進(jìn)而求得AD=2x=

5

2

，BD=10-

5

2

=

15

2

，連接DF，根據(jù)DF∥AC，求得

BF

BC

=

BD

AB

，即可求得BF的長．

解答：（1）證明：連接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切線，

（2）解：Rt△ABC中，AB=10，BC=6，則AC=8；
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴AE：OE：OA=AC：BC：AB=4：3：5，
在Rt△AOE中，設(shè)AE=4x，則OE=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AD=OA-OD=2x，
由于AB=AD+BD=2x+6x=10，故x=

5

4

，
∴AD=2x=

5

2

，
∴BD=10-

5

2

=

15

2

，
連接DF，
∵BD是直徑，
∴∠BFD=90°，
∵∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴

BF

BC

=

BD

AB

，
∴BF=

BC•BD

AB

=

6× 15 2

10

=4.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．