Question

如圖11所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．

（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸

于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．

若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令，得   解得

令，得

∴ A   B   C  ???? （2分）

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

      過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形

令OE=，則PE=  ∴P

∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴  

解得，（不合題意，舍去）
      ∴PE=?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分）

∴四邊形ACBP的面積=AB•OC+AB•PE

=???????????????????????????????????????????? 6分）

(3)． 假設(shè)存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  ??????????????????????????????????????????????????????? 7分）

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M

①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則

() 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=

∵AG=，MG=

即 

解得（舍去） （舍去）

() 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=

即

解得：（舍去） 

∴M ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）

② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則

() 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=

∵AG=，MG=     

∴   

解得（舍去）   

      ∴M

() 當(dāng)MAGPCA時(shí)有=

即

解得：（舍去）    
∴M

∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似

M點(diǎn)的坐標(biāo)為，， ???????????????????????????????????????? （13分）