Question

7．如圖1，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C．

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）如圖2，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P位線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
（3）如圖3，連接AC，在x軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過解方程-x²+2x+3=0可得A點和B點坐標，再計算自變量為0時的函數(shù)值可得到C點坐標，然后利用對稱性可確定拋物線的對稱軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)關系式為y=-x+3，再確定E（1，2），D（1，4），表示出P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），接著計算出DE=2，PF=-m²+3m，然后利用平行四邊形的判定方法得到-m²+3m=2，再解方程求出m即可．
（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進行討論即可求解．

解答 解：（1）當y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則A（-1，0），B（3，0），
當x=0時，y=-x²+2x+3=3，則C（0，3）；
拋物線的對稱軸是直線x=$\frac{-1+3}{2}$=1；
（2）設直線BC的函數(shù)關系式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=3，
∴直線BC的函數(shù)關系式為y=-x+3，
∵對稱軸是直線x=1，
∴E（1，2），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4），
當x=m 時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，即-m²+3m=2，解得m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去），
∴當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
（3）設在x軸上存在點Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：
①如果QA=QC，那么（x+1）²=x²+3²，
解得x=4，
則點Q₁（4，0）；
②如果CA=CQ，那么1²+3²=x²+3²，
解得x₁=1，x₂=-1（不合題意舍去），
則點Q₂（1，0）；
③如果AC=AQ，那么1²+3²=（x+1）²，
解得x₁=$\sqrt{10}$-1，x₂=-$\sqrt{10}$-1，
則點Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）；
綜上所述存在點Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標為：Q₁（4，0），Q₂（1，0），Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，拋物線與坐標軸的交點，平行四邊形的判定，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（3）小題用到了分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．．