Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別為BC、AC的中點，AD與BE相交于點O，若AC=4，BC=2，則△ODE的周長為$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，由D、E分別為BC、AC的中點，可得DE∥AB，即可證得△ODE∽△OAB，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求的各邊的長，繼而求得答案．

解答 解：如圖，∵D、E分別為BC、AC的中點，
∴DE∥AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴OD：OA=OE：OB=DE：AB=1：2，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BE=$\sqrt{C{E}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{5}$，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，OE=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴△ODE的周長為：$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{17}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 此題考查了相似三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解是關(guān)鍵．