Question

將12分成兩部分，使它們的乘積為正整數(shù)k，試探求：

(1)將12分成怎樣的兩部分，可以使他們的乘積k等于20或27？

(2)有沒(méi)有這樣的k，隨便怎樣分，都無(wú)法使它們的乘積等于這個(gè)k？

(3)兩部分的乘積正整數(shù)k，有沒(méi)有最大的或最小的數(shù)值？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)設(shè)分成x、12－x兩部分，則根據(jù)題意可列出方程 　　x(12－x)＝k當(dāng)k＝20時(shí)，x(12－x)＝20 　　整理，得　　x2－12x＋20＝0 　　解這個(gè)方程得　　x1＝2，x2＝10 　　當(dāng)x1＝2時(shí)，12－x＝10，當(dāng)x2＝10時(shí)，12－x＝2 　　所以此時(shí)12可以分成2、10兩部分． 　　當(dāng)k＝27時(shí)，x(12－x)＝27 　　整理，得　　x2－12x＋27＝0 　　解這個(gè)方程，得　　x1＝3，x2＝9 　　當(dāng)x1＝3時(shí)，12－x＝9；當(dāng)x2＝9時(shí)，12－x＝3. 　　(2)對(duì)方程x(12－x)＝k討論： 　　整理，得　　x2－12x＋k＝0 　　b2－4ac＝(－12)2－4×1×k＝144－4k根據(jù)題意，得　　144－4k＜0． 　　即　　k＞36． 　　當(dāng)　　k＞36時(shí)，此方程無(wú)解．也就是說(shuō)，當(dāng)k取大于36的整數(shù)時(shí)，隨便怎樣分，都無(wú)法使它們的乘積等于這個(gè)k． 　　(3)對(duì)一元二次方程x2－12x＋k＝0而言， 　　x＝＝6± 　　要使36－k為完全平方數(shù)，k又要為正整數(shù)，故最大的k為36，最小的k為11． 　　評(píng)析：構(gòu)造一元二次方程，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)一元二次方程解進(jìn)行討論是一元二次方程根的判別式的重要應(yīng)用，此種方法也叫“Δ法”．

提示：

思路與技巧：建立方程模型是解決此問(wèn)題的好方法，若把12分成x，12－x兩部分．即可得到方程x(12－x)＝k，然后探討，所謂好不好分，就是方程有沒(méi)有整數(shù)解，有沒(méi)有最大的或最小的正整數(shù)使方程x(12－x)＝k成立．