Question

3．在△ABC中，∠BAC=∠BCA，BC的垂直平分線DE交AC所在直線于點E，交BC于點D，求∠CED的度數(shù)．
（1）如圖1，若∠B=60°，BC的垂直平分線DE中的E恰與點A重合，此時∠CED的度數(shù)為30°；
（2）如圖2，若∠B=84°，BC的垂直平分線DE交線段AC于點E，此時∠CED的度數(shù)為42°；
（3）如圖3，若∠B=44°，BC的垂直平分線DE交CA的延長線于點E，此時∠CED的度數(shù)為22°；
（4）若∠B=α，無論BC的垂直平分線DE與AC的交點在哪，都有∠CED的度數(shù)為$\frac{1}{2}$α．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式求解即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠BCA，∠B=60°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-60°=30°；

（2）∵∠BAC=∠BCA，∠B=84°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-84°）=48°，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-48°=42°；

（3）∵∠BAC=∠BCA，∠B=44°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-44°）=68°，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-68°=22°；

（4））∵∠BAC=∠BCA，∠B=α，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∵DE是BC的垂直平分線，
∴DE⊥BC，
∴∠CED=90°-∠C=90°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$α．
故答案為：（1）30°；（2）42°；（3）22°；（4）$\frac{1}{2}$α．

點評 本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，以及線段垂直平分線的定義，熟記各性質并考慮利用直角三角形求解是解題的關鍵．