Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=

5

2

，BC=4，連接BD，∠BAD的平分線交BD于點E，且AE∥CD
（1）求AD的長；
（2）若∠C=30°，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）延長AE交BC于點F，根據(jù)等角對等邊即可證得BF=AB，然后證明四邊形AFCD是平行四邊形，據(jù)此即可求解；
（2）過B作AF的垂線BG，垂足為G．在Rt△BGF中利用三角函數(shù)即可求得GF的長，進而求得DC的長，則四邊形的周長即可求解．

解答：解：（1）延長AE交BC于點F．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴BF=AB=

5

2

．
∵BC=4，
∴FC=4-

5

2

=

3

2

．
∵AF∥DC，AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AD=FC=

3

2

．

（2）過B作AF的垂線BG，垂足為G．
∵AF∥∥DC，∠AFB=∠C=30°，
在Rt△BGF中，GF=BF•cos30°=

5

2

×

3

2

=

5 3

4

，
∴DC=AF=2GF=2×

5 3

4

=

5 3

2

．
∴四邊形ABCD的周長AB+BC+CD+DA=

5

2

+4+

5 3

2

+

3

2

=8+

5 3

2

．

點評：考查了平行四邊形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用的綜合題，正確作出輔助線是關(guān)鍵．