Question

13．如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且AC是切線，⊙O與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F．
（1）求證：AC=FC；
（2）已知：⊙O半徑5，OF=2，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OA，OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OAC=90°，即∠1+∠CAF=90°，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BE，則∠D+∠2=90°，然后利用等量代換可得到∠3=∠CAF，于是根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；
（2）在Rt△ODF中利用勾股定理計(jì)算．

解答 （1）證明：連接OA，OD，如圖，
∵AC是切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，即∠1+∠CAF=90°，
∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠2=90°，
∵∠1=∠D，∠2=∠3，
∴∠3=∠CAF，
∴AC=FC；
（2）解：在Rt△ODF中，OD=5，OF=2，
∴DF=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．