Question

如圖，拋物線y₁=

1

2

x²-2x-6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）將拋物線y₁向左平移1個(gè)單位，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線y₂，若拋物線y₂的頂點(diǎn)在△ABC內(nèi)，則m的取值范圍為

 

；
（2）在（1）的結(jié)論下，若拋物線y₂上存在點(diǎn)Q，使得△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）首先根據(jù)平移確定平移后的函數(shù)的解析式，然后確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式，然后確定m的取值范圍即可；
（2）求出AB中點(diǎn)，過此點(diǎn)且垂直于AB的直線在x=1的交點(diǎn)應(yīng)該為頂點(diǎn)P的臨界點(diǎn)，頂點(diǎn)P繼續(xù)向上移動(dòng)，不存在Q點(diǎn)，向下存在兩個(gè)點(diǎn)P．

解答：解：（1）y=

1

2

x²-2x-6=

1

2

（x-2）²-8，
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-8），
將求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長度得到新拋物線y₁=

1

2

（x-2+1）²-8+m，
故P（1，-8+m），
在拋物線y=

1

2

x²-2x-6中易得C（0，-6），
當(dāng)0=

1

2

x²-2x-6
解得：x₁=-2，x₂=6，
故B（6，0），
可得直線BC為y₂=x-6，
當(dāng)x=1時(shí)，y₂=-5，
故-5＜-8+m＜0，
解得：3＜m＜8；
故答案為：3＜m＜8；

（2）∵C（0，-6），A（-2，0），
∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），直線AC的解析式為y=-3x-6，
∴過AC的中點(diǎn)且與AC垂直的直線的解析式為：y=

1

3

x-

8

3

，
∴直線y=

1

3

x-

8

3

與y=

1

2

（x-1）²-8+m有交點(diǎn)，
聯(lián)立方程，求得判別式為：
△=64-12（6m-29）≥0
解得：m≤

103

18

故①當(dāng)3＜m＜

103

18

時(shí)，存在兩個(gè)Q點(diǎn)，可作出兩個(gè)等腰三角形；      
②當(dāng)m=

103

18

時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)Q，可作出一個(gè)等腰三角形；
③當(dāng)

103

18

＜m＜8時(shí)，Q點(diǎn)不存在，不能作出等腰三角形，
綜上所述：使得△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則m的取值范圍為3＜m≤

103

18

．
故答案為：3＜m≤

103

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中還滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，這也是中考中常常出現(xiàn)的重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練．