Question

已知命題：“P是等邊三角形ABC內的一點，若P到三邊的距離相等，則PA=PB=PC．”證明這個命題，并寫出它的逆命題．判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明．

Answer 1

考點：命題與定理

專題：

分析：首先畫出圖形，由PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，根據(jù)角平分線的判定得出BP平分∠ABC，由BA=BC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出BP是AC的垂直平分線，同理，AP是BC的垂直平分線，CP是AB的垂直平分線，那么P是△ABC三邊垂直平分線的交點，根據(jù)線段垂直平分線的性質即可證明PA=PB=PC；
將原命題的題設與結論交換位置即可寫出其逆命題；可證明其逆命題成立．先由PA=PB，AC=BC，根據(jù)線段垂直平分線的判定得出CP是AB的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三個角的角平分線的交點，根據(jù)角平分線的性質即可得出PD=PE=PF．

解答：解：如圖，已知P是等邊三角形ABC內的一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求證：PA=PB=PC．
證明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，
∴BP平分∠ABC，
∵BA=BC，
∴BP是AC的垂直平分線，
同理，AP是BC的垂直平分線，CP是AB的垂直平分線，
∴P是△ABC三邊垂直平分線的交點，
∴PA=PB=PC．
逆命題：P是等邊三角形ABC內的一點，若PA=PB=PC，則P到三邊的距離相等．其逆命題成立．
證明：∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分線上，
∴CP是AB的垂直平分線，
∴CP平分∠ACB，
同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴P是△ABC三個角的角平分線的交點，
∴PD=PE=PF．

點評：本題考查了命題與定理，角平分線、線段垂直平分線的判定與性質，等腰三角形的性質，難度適中．利用數(shù)形結合是解題的關鍵．