Question

（2013•和平區(qū)二模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），B（6，1）．
（Ⅰ）求此拋物線的解析式，Ⅰ把解析式化為頂點(diǎn)式；
（Ⅱ）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP⊥CP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)H是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)E（t，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OEDC的面積為S．當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)？當(dāng)S取何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)？

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（2，3），B（6，1）代入拋物線，求出解析式即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P（

7

2

，m），分別過A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A′、C′，利用相似三角形的進(jìn)一步解決問題；
（3）首先求出直線BC的解析式，確定D點(diǎn)的位置，再進(jìn)一步計(jì)算探討即可．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（2，3），B（6，1）代入拋物線y=ax²+bx-2得

4a+2b-2=3 36a+6b-2=1

，
解得a=

1

2

，b=

7

2

，
此拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

7

2

x-2=-

1

2

（x-

7

2

）²+

33

8

；

（2）如圖

設(shè)點(diǎn)P（

7

2

，m），分別過A、C兩點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為A′，C′，
∵AP⊥CP，
∴△AA′P∽△PC′C，
可得

AA′

PC′

=

A′P

CC′

即

7 2 -2

m+2

=

3-m

7 2

解得m₁=

3

2

，m₂=-

1

2

，
P（

7

2

，

3

2

）或（

7

2

，-

1

2

）；

（3）如圖

由B（6，1），C（0，-2），
得直線BC的解析式為y=

1

2

x-2，
∴D（4，0），
當(dāng)E點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E只有一個(gè)，
此時(shí)S=

1

2

×4×2+

1

2

×4×

33

8

=

49

4

，
∵S△BOC=

1

2

×2×6=6，
∴當(dāng)6＜S＜

49

4

時(shí)，滿足條件的點(diǎn)E有兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根據(jù)已知條件求拋物線解析式，一次函數(shù)，相似三角形等知識(shí)解題．