Question

如圖1，在正方形中，點分別為邊的中點，相交于點，則可得結論：①；②．（不需要證明）
（1）如圖2，若點不是正方形的邊的中點，但滿足，則上面的結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如圖3，若點分別在正方形的邊的延長線和的延長線上，且，此時上面的結論1，2是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．
（3）如圖4，在（2）的基礎上，連接和，若點分別為的中點，請判斷四邊形是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

Answer 1

（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴結論①、②成立
（2）結論①、②仍然成立．理由為：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中
AD=DC
∠ADC=∠DCB
CE=DF，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；
（3）結論：四邊形MNPQ是正方形
證明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=DE，
同理可證：PN∥DE，PN=DE；
MN∥AF，MN=AF；
PQ∥AF，PQ=AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四邊形MNPQ是菱形，
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=∠QMN=∠MNP=∠NPQ=90°，
∴四邊形MNPQ是正方形．

解析