Question

如圖①，平面直角坐標(biāo)系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向，以1cm/s速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿BO方向，以3cm/s的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求出A點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖②，從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形AOQP是平行四邊形；
（3）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形AOQP有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請(qǐng)說明理由．（圖③供解題時(shí)用）

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)A作AD垂直O(jiān)B于點(diǎn)D，垂足為D
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=cm
由勾股定理，得AD=4cm
∴A（4，4）
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4）．

（2）設(shè)經(jīng)過t秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形
則有AP=OQ
即t=10-3t，t=（秒）
故經(jīng)過秒鐘，四邊形AOQP是平行四邊形．

（3）四邊形AOQP能成為直角梯形．
設(shè)經(jīng)過t秒鐘，四邊形AOQP是直角梯形，
如圖③所示，四邊形ADQP是矩形則有AP=DQ
即t=10-3t-4，t=（秒）
故四邊形AOQP是直角梯形．
分析：（1）因?yàn)锳O=8為已知，∠AOB=60°，可利用三角函數(shù)中，正弦或余弦求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及縱坐標(biāo)，至于C，因?yàn)锳C連線與X軸平行，所以和A點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)在A的基礎(chǔ)上加10即可．
（2）四邊形AOQP如果是平行四邊形，則必須有AP=OQ，可根據(jù)P、Q運(yùn)動(dòng)速度，以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，求出AP和OQ的長，從而列方程解答即可．
（3）如圖，道理同（2），只要AP=DQ即可說明是一個(gè)直角梯形，所以用含有t的式子把AP、DQ表示出來后，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形、直角梯形的判定，難易程度適中．