Question

11．閱讀下列材料：
在學習完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表示）．
聰明的小雯同學是這樣考慮的：如圖2，取AB的中點O，連接OC，過點C作CD⊥AB于點D，則∠COB=2α，然后利用銳角三角函數(shù)在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，則可以求出
sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{sinα•AC}{{\frac{1}{2}}}$=$\frac{sinα•cosα}{{\frac{1}{2}}}$=2sinα•cosα．
閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
（1）如圖3，若BC=$\frac{1}{3}$，則 sinα=$\frac{1}{3}$，sin2α=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
（2）請你參考閱讀材料中的推導思路，求出tan2α的表達式（用含sinα，cosα的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)進行解答即可；
（2）利用直角三角形中的三角函數(shù)解答即可．

解答 解：（1）sinα=$\frac{1}{3}$，cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得：sin2α=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$；$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
（2）∵AC=cosα，BC=sinα，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=sinα•cosα．
∵∠DCB=∠A，
∴在Rt△BCD中，BD=sin²α．
∴OD=$\frac{1}{2}$-sin²α．
∴tan2α=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{sinα•cosα}{\frac{1}{2}-si{n}^{2}α}=\frac{2sinα•cosα}{1-2si{n}^{2}α}$．

點評 本題通過題目提供信息考查了解直角三角形，讀懂題目信息并根據(jù)信息表示出三角形的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．