Question

8．如圖，點(diǎn)B（0，b），點(diǎn)A（a，0）分別在y軸、x軸正半軸上，且滿足$\sqrt{a-b}$+（b²-16）²=0．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，∠OAB的度數(shù)；
（2）如圖1，已知H（0，1），在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)G，HG交AB于E，使BE為△BHG的中線，且S_△BHE=3，
①求點(diǎn)E到BH的距離；
②求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，C，D是y軸上兩點(diǎn)，且BC=OD，連接AD，過點(diǎn)O作MN⊥AD于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M，連接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出關(guān)于a、b的方程組，求得a、b即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB的度數(shù)；
（2）作EF⊥y軸于F，構(gòu)造等腰直角三角形BEF，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用△BHE的面積即可得到點(diǎn)E到BH的距離；設(shè)G（m，n），根據(jù)BE為△BHG的中線，求得點(diǎn)G坐標(biāo)即可；
（3）過點(diǎn)B作BK⊥OC，交MN于點(diǎn)K，然后證明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，從而可證明∠ADO+∠BCM=180°．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-b}$+（b²-16）²=0，
∴a-b=0，b²-16=0，
解得：b=4，a=4或b=-4，a=-4，
∵A點(diǎn)在x軸正半軸，B點(diǎn)在y軸正半軸上，
∴b=4，a=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴∠OAB=45°；

（2）①如圖1，作EF⊥y軸于F，
∵B（0，4），H（0，1），
∴BH=OB-OH=4-1=3，
∵S_△BHE=3，
∴$\frac{1}{2}$BH×EF=3，即$\frac{1}{2}$×3×EF=3，
∴EF=2，
故點(diǎn)E到BH的距離為2．
②∵OA=OB=4，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴△BFE為等腰直角三角形，
∴BF=EF=2，
∴OF=OB-BF=4-2=2，
∴E（2，2），
∴EF=2，
設(shè)G（m，n），
∵BE為△BHG的中線，
∴$\frac{m+0}{2}=2$，$\frac{n-1}{2}$+1=2，
解得m=4，n=3，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）；

（3）如圖2，過點(diǎn)B作BK⊥OC，交MN于點(diǎn)K，則∠KBO=∠DOA，
∵M(jìn)N⊥AD，
∴∠DON+∠NOA=90°，
∴∠3+∠NOA=90°，
∵∠NOA+∠1=90°，
∴∠3=∠1，
在△KOB和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KBO=∠DOA}\\{OA=OB}\\{∠3=∠1\\;}\end{array}\right.$，
∴△KOB≌△OAD（ASA），
∴KB=OD，∠2=∠7，
∵BC=OD，
∴KB=BC，
∵OB=OA，∠BOA=90°，
∴∠OBA=45°，
∴∠9=∠8=45°，
在△MKB和△MCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=MB}\\{∠9=∠8}\\{KB=CB}\end{array}\right.$，
∴△MKB≌△MCB（SAS），
∴∠6=∠5，
∵∠7+∠6=180°，
∴∠2+∠5=180°，即∠ADO+∠BCM=180°．

點(diǎn)評 此題主要考查三角形的綜合應(yīng)用，解決問題時需要運(yùn)用坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積等，解答時作輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．