Question

當0°＜α＜60°時，下列關系式中有且僅有一個正確．
A.
B.
C.
（1）正確的選項是______；
（2）如圖1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，請利用此圖證明（1）中的結論；
（3）兩塊分別含45°和30°的直角三角板如圖2方式放置在同一平面內，BD=，求S_△ADC．

Answer 1

解：（1）C．
2sin（α+30°）=2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）=．
故答案選C．

（2）如圖，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，
∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AD=2sin（α+30°）
過點C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，．
∴．
∴．

（3）由上面證明的等式易得．
如圖，過點A作AG⊥CD交CD的延長線于點G．
∵△ABD和△BCD是兩個含45°和30°的直角三角形，BD=，
∴∠ADG=75°，AD=8，．
∵sin75°=sin（45°+30°）==．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，．
∴S_△ADC===．
分析：（1）利用關系式sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．
（2）構造直角三角形，過A、C點作AD⊥BC交BC的延長線于點D，CE⊥AB于E，根據三角函數知識，可用α表示出AB的長度，再表示出AE和BE的長度，AB=AE+BE，分別讓帶有α兩式相等即可．
（3）要求三角形的面積，必須找到三角形的一邊和這條邊上的高；過點A作AG⊥CD交CD的延長線于G點．根據題意可知CD和AD的長度，和∠ADG的度數，根據上述得出的結論，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根據三角函數關系式即可得出AG的長度，代入S_△ADC的面積公式即可．
點評：本題考查了三角函數和化積差的函數式，要求學生掌握正余弦、正余切的和化積差和積差化和，熟練應用．