Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求證：點F是AD的中點；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=20，求半徑CD的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)AD是△ABC的角平分線得出∠1=∠2，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，故可得出∠ADE=∠DAE，所以ED=EA，由圓周角定理得出EF⊥AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，根據(jù)勾股定理得出DE的長，根據(jù)

1

2

AD•EF=

1

2

AE•DM得出DM的長，由勾股定理得出ME的長，根據(jù)cos∠AED=

ME

DE

即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AEC∽△BEA，故可得出AE：BE=CE：AE，根據(jù)k＞0得出k的值，進而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED是⊙O的直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點F是AD的中點；

（2）解：連接DM，設(shè)EF=4k，DF=3k，則ED=

EF2+DF2

=5k，
∵

1

2

AD•EF=

1

2

AE•DM，
∴DM=

AD•EF

AE

=

6k•4k

5k

=

24k

5

，
∴ME=

DE2-DM2

=

7

5

k，
∴cos∠AED=

ME

DE

=

7

25

；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE²=CE•BE，即（5k）²=

5

2

k•（20+5k），
∵k＞0，
∴k=4，
∴半徑CD=

5

2

k=10．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到角平分線的定義、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．