Question

16．閱讀：已知如圖（1）△ABC中，AB=AC，CF為AB邊上的高，P為BC邊上的一個動點，PD⊥AB，PE⊥AC，探究PD、PE和CF之間的關系．聰明的小強連接AP通過S_△APB+S_△APC=S_△ABC，從而發(fā)現(xiàn)PD+PE=CF．
理解：小強對上述問題進一步進行探究，當點P在BC延長線上時，如圖2，其它條件不變，發(fā)現(xiàn)PD-PE=CF，請你證明小強的這一發(fā)現(xiàn)．
運用（一）：如圖3，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，P為折痕EF上的任意一點，PG⊥BE，PH⊥BC，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
運用（二）：如圖4，四邊形ABCD中，E為AD邊上的點，且EB⊥AB，CE⊥CD，且AB•CE=CD•BE，M、N分別為AE、DE的中點，若AD=10，sinA=$\frac{3}{5}$，求△BEM與△CEN的周長之和．

Answer 1

分析 運用（一）：先依據(jù)矩形的性質和翻折的性質證明∠BEF=∠BFE，從而得到△EBF為等腰三角形，依據(jù)例題結論可知PG+PH=BC′，然后再在Rt△BFC′中依據(jù)勾股定理求得FC′的長即可；
運用（二）：先證明△ABE∽△DCE，從而可求得∠D=∠A，由銳角三角函數(shù)的定義以及相似三角形的對應中線的比等于相似比可求得MB+CN=$\frac{3}{5}$AD，然后由直角三角形斜邊上中線的性質可知MA=BM，CN=ND，從而可求得△BEM與△CEN的周長之和．

解答 解：運用（一）：過點F作FM⊥BE，垂足為M．

∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF．
由翻折的性質可知：∠DEF=∠BEF．
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
由例題結論可知GP+HP=MF．
∵∠EBC′=∠EMF=90°，
∴MF∥BC′．
∵BE∥C′F，MF∥BC′，
∴BC′=MF．
∵FC′=FC=3，BC=AD=8，
∴BF=5．
∵在Rt△BFC′中，BC′=$\sqrt{B{F}^{2}-FC{′}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∴GP+HP=4．
運用（二）：∵EB⊥AB，CE⊥CD，
∴∠ABE=∠DCE．
∵AB•CE=CD•BE，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{EC}$．
∴△ABE∽△DCE．
∴∠D=∠A．
∴BE=$\frac{3}{5}$AE，EC=$\frac{3}{5}$DE．
∴BE+EC=$\frac{3}{5}$AD=$\frac{3}{5}$×10=6．
∵在Rt△AEB中，M是AE的中點，
∴BM=AM=ME．
∴ME+BM=AE．
同理：EN+NC=ED．
∴△BEM與△CEN的周長之和=BE+BM+ME+NC+EN+EC=（BE+CE）+（AE+DE）=6+10=16．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、翻折的性質、勾股定理、等腰三角形的性質和判定、相似三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線的性質，證得三角形BEF為等腰三角形是解答應用（一）的關鍵，找出△BEM與△CEN的周長之和與AD的長度的關系是解答應用（二）的關鍵．