Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（-1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′．
（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M時第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上一動點(diǎn)，N為x軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先確定C，A，A′三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可．
（2）如圖2中，連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b，設(shè)M（x，-x²+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，-m+4），構(gòu)建二次函數(shù)后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．
（3）分兩種情形討論即可．①當(dāng)BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，由BQ=4，可得-x²+3x+4=±4．解方程可以得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．②當(dāng)BQ為對角線時，PB∥x軸，即P₁，P₂的坐標(biāo)不變；當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)利用圖象即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，

∵平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊
形A′B′OC′，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，0）．
∵拋物線過點(diǎn)C，A，A′，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0）可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a_b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4．

（2）如圖2中，連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y=kx+b，

可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AA′的函數(shù)解析式是y=-x+4．
設(shè)M（x，-x²+3x+4），作MN∥y軸交AA′于N，則N（m，-m+4），
S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2（x-2）²+8，
∵-2＜0，
∴x=2時，△AMA′的面積最大，最大面積為8，
∴M（2，6）．

（3）如圖3中，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-x²+3x+4），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時，
①當(dāng)BQ為邊時，PN∥BQ 且PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4．
當(dāng)-x²+3x+4=4時，x=0或3，
可得P₁（0，4），P₂（3，4）；
當(dāng)-x²+3x+4=-4時，x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，可得P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．

②當(dāng)BQ為對角線時，PB∥x軸，即P₁，P₂的坐標(biāo)不變；
當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，即P₁（0，4），P₂（3，4），N₁（0，0），N₂（3，0）．
綜上所述，當(dāng)P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）．時，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)這個平行四邊形為矩形時，N₁（0，0），N₂（3，0）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、三角形面積、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．