Question

如圖，一次函數(shù)y=x+m的圖象分別交x軸、y軸于點A、B，且與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限交于點C（4，n），CD⊥x軸于D．動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，以相同速度沿AD、CA向D、A運動，設(shè)AP=k．
（1）若△APQ與△AOB相似，求點Q的坐標．
（2）當k為何值時，△APQ為等腰三角形？
（3）是否存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵把（4，n）代入反比例函數(shù)y=，得：n=6
把（4，6）代入一次函數(shù)y=x+m，得：m=3
∴一次函數(shù)解析式為：y=x+3．
令x=0，則y=3；令y=0，則x=-4．
∴A（-4，0），B（0，3）．
∴OA=4，OB=3，AC=10，AB=5，
根據(jù)題意，得AP=CQ=k，根據(jù)勾股定理，得AC=10，則AQ=10-k
當∠APQ=90°時，△APQ∽△AOB，則=，即=，解得k=，
∴P（，0），
∵點Q在直線AB上，
∴當x=時，y=×+3=，
∴Q（，）；
當∠AQP=90°時，△AQP∽△AOB，則有=，即=，k=．
∴P（，0），
∵點Q在直線AB上，
∴當x=時，y=×+3=，
∴Q（，）；

（2）①當AP=AQ時，k=10-k，解得，k=5；
②如圖1，當PA=PQ時，過點P作PH⊥AB于點H．則易證△AHP∽△AOB，
故有：=，即=，解得k=；
③當AQ=PQ時，過點Q作BH⊥AD于點H．則易證△AHQ∽△AOB，故有：=，即=，解得k=；
綜上所述，符合條件的k的值是5，或；

（3）不存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值．理由如下：
△ABC的面積=AC•BC=×8×6=24cm²，
假設(shè)存在t使線段PQ恰好把△ABC的面積平分，
則點Q到AP的距離為：AQ•sin∠A=（10-k）×=（10-k），
∴△APQ的面積=k•（10-k）=×24，
整理得，k²-10t+40=0，
∵△=（-10）²-4×1×40=-60＜0，
∴此方程無解，
∴不存在線段PQ將△ACD的面積兩等分的k的值．
分析：（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得n的值，再根據(jù)點C的坐標求得m的值．則易求點A、B的坐標；已知△AOB是直角三角形，要使△APQ與△AOB相似，則∠APQ=90°或
∠AQP=90°．根據(jù)題意表示對應(yīng)的兩條邊，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列方程求解；
（2）根據(jù)當AP=AQ時和當PA=PQ時當QA=QP時，分別得出k的值；
（3）先求出△ACD的面積，然后利用∠A的正弦求出點Q到AP的距離，再根據(jù)△APQ的面積公式列出方程，然后求出根的判別式△＜0，確定不存在．
點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)；（3）此題運用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達式，再利用函數(shù)列出表達式代入數(shù)值進行求解．解答（1）、（2）題時，一定要分類討論，以防漏解．