Question

1．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是邊AB上一點(diǎn)，Q是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則DP+PQ的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． $\sqrt{13}$+2
• C． $\frac{\sqrt{73}}{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． 3$\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 作矩形ABCD關(guān)于AB的對(duì)稱圖形ABC′D′，作半圓O關(guān)于AB的對(duì)稱圖形半圓O′，連接DO′交AB于點(diǎn)P，連接PO交半圓O于點(diǎn)Q，此時(shí)DP+PQ取最小值，根據(jù)勾股定理求出DO′的長(zhǎng)度，再減去⊙O的半徑即可得出結(jié)論．

解答 解：作矩形ABCD關(guān)于AB的對(duì)稱圖形ABC′D′，作半圓O關(guān)于AB的對(duì)稱圖形半圓O′，連接DO′交AB于點(diǎn)P，連接PO交半圓O于點(diǎn)Q，此時(shí)DP+PQ取最小值，如圖所示．
∵AB=3，BC=4，O′為BC′的中點(diǎn)，
∴DC=AB=3，CO′=BC+$\frac{1}{2}$BC=6，
∴DO′=$\sqrt{D{C}^{2}+CO{′}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
當(dāng)DP+PQ取最小值時(shí)，DP+PQ=DO′-$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{5}$-2．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱圖形中的最短路線問(wèn)題以及勾股定理，根據(jù)對(duì)稱性找出當(dāng)DP+PQ取最小值時(shí)點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．